Géométrie du plan : Frises et Pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages


La première partie de ce document est conçue comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises (ou ornement linéaires) et des pavages, ce que nous faisons ici.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan. Il doit beaucoup à des documents que m'a donnés Daniel Perrin lors de la préparation de ce cours.
frieze pavage

Le plan affine est noté P.

I Frises

II Réseaux et pavages

III D'autres groupes de symétrie

I Frises

lambrequin

I-1 Ornement linéaire


Pour analyser une frise, il faut
  • déterminer la bande, c'est-à-dire la direction des translations et un motif de translation ;
  • trouver son groupe ponctuel, les directions des axes de réflexion, l'ordre des rotations ;
  • placer les éléments de symétrie (centres de rotation, axes de réflexion, axes de réflexion glissée).
  • déterminer le groupe de ses isométries parmi une liste finie que nous allons donner.
  • déterminer un motif de base.

Faisons d'abord l'étude mathématique.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification

I-5 Nomenclature

I-1 Ornement linéaire

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-1 Ornement linéaire
Prenons une bande B, c'est-à-dire la zone du plan comprise entre deux droites parallèles et un dessin dans cette bande, c'est-à-dire un sous-ensemble de la bande ou un dessin coloré (un nombre fini de sous-ensembles disjoints de cette bande) contenu dans un parallélogramme et translatons-le dans la direction de la bande de manière à ce qu'il n'y ait pas de superposition, on obtient une frise.

Définition

Un ornement linéaire ou frise est un dessin F de P dont le groupe des translations T(F) de Is(F) est de la forme {t nu,n}u est un vecteur non nul.

Définition

Un motif de translation M est une partie fermée de F, connexe (c'est-à-dire d'un seul morceau) telle que les translatés de M par les translations de Is(F) recouvrent F :
tT(F)M=F
et telle que l'intersection de deux tels translatés soit contenue dans leur frontière. Un motif de base M est une partie fermée de F, connexe, telle que les images de M par les isométries de Is(F) recouvrent F :
tIs(F)M=F
et telle que l'intersection de deux tels transformés soit contenue dans leur frontière.
Par exemple, un parallélogramme de longueur (dans la direction de la bande) la norme de u est un motif de translation. Par contre, le motif de base dépend de la structure du groupe des isométries.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Définition

Un groupe de symétrie d'un ensemble Is(F) est discret s'il existe des réels strictement positifs m 1 et m 2 tel que
  1. pour toute translation de vecteur v non nul appartenant à Is(F), v>m 1 ;
  2. pour toute rotation d'angle theta appartenant à Is(F), sin(θ)m 2.

Proposition

Si Is(F) est discret et laisse fixe un point A, il est fini.

Proposition

Le groupe d'un ornement linéaire est discret.

Proposition

Soit A un point de P. Le groupe ponctuel Is A(F) d'un ornement linéaire est fini.

Désormais, F est un ornement linéaire dont le groupe des translations T(F) de Is(F) est de la forme u={t nu,n} avec u un vecteur non nul. On fixe une origne O du plan.

Proposition

Soit D O la droite vectorielle de direction u et Δ O la perpendiculaire à D O passant par O. Tout élément de Is(F) est de la forme tgt est une translation et
g{id,s O,s D O,s Δ O}.
Autrement dit, le groupe ponctuel Is ponct(F) de Is(F) est contenu dans le groupe V 4={id,s O,s D O,s Δ O}.
Démonstration
Soit gIs(F) et écrivons g=t wg O avec g O une isométrie fixant l'origne et w un vecteur.
L'isométrie gt ug 1 transformée de t u par g est égale à t g O(u). Comme t u appartient à Is(F), t g O(u) aussi ; donc g O(u)u. Comme g O(u) et u ont même norme, g O(u) est u ou u.
La droite vectorielle D O de direction u est donc stable par g O ; il en est de même de sa perpendiculaire Δ O ( g O conserve des angles). Donc, g O peut être : l'identité, la symétrie centrale s O par rapport à O, la réflexion axiale par rapport à D O ou la réflexion axiale par rapport à Δ O.

Les sous-groupes de V 4 sont faciles à décrire. Il y en a cinq ;
  1. Is ponct(F)={id} ;
  2. Is ponct(F)={id,s D O} ;
  3. Is ponct(F)={id,s Δ O} ;
  4. Is ponct(F)={id,s O} ;
  5. Is ponct(F)={id,s O,s D O,s Δ O}.

Exercice

Quel est le groupe ponctuel de chacune des frises suivantes :
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Voir aussi Groupe ponctuel d'une frise

I-3 Droite affine invariante de la bande

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

Proposition

Il existe au moins une droite affine D parallèle à u invariante par Is(F).

Démonstration
Les droites invariantes par le groupe des translations T(F) de Is(F) sont les droites de direction D O. Nous allons donc chercher la droite D parmi ces droites. Elle doit être invariante par les isométries de Is(F) qui ne sont pas des translations.
Prenons une isométrie g de Is(F) qui n'est pas une translation. Elle s'écrit
g=t vg O
avec g O=s O, s D O, s Δ O avec D O de direction u et Δ O perpendiculaire à D O. Faisons quelques remarques sur les isométries que l'on peut obtenir et les droites qu'elles laissent invariantes :
  • g=t vs O : g est une symétrie centrale de centre un point A ; toute droite passant par A et de direction D O est invariante par g ;
  • g=t vs D O=t ws D avec D droite de direction D O et w parallèle à D (réflexion ou symétrie glissée) ; on a alors g 2=t 2w. Donc 2w est un multiple de u. La droite D est stable par g.
  • g=t vs Δ O=t ws Δ avec Delta droite de direction Δ O et w parallèle à Delta ; on a alors g 2=t 2w. Donc 2w appartient à T(F) ; comme il est perpendiculaire à u, il est nul. Autrement dit, g est une réflexion d'axe Delta perpendiculaire à D O. Toute droite de direction D O est stable par g.

Reprenons maintenant les cinq cas de groupes ponctuels possibles.
  • Is ponct(F)={id} : toute droite de direction D O est invariante par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s Δ O} ; Is(F) est engendré par T et par s Δ pour Delta une droite de direction Δ 0 ; toute droite de direction D O est invariante par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s O} ; toute droite de direction D O est invariante par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s D O} ; il y a dans Is ponct(F) une réflexion ou une symétrie glissée d'axe une droite D de direction D O. Cette droite est invariante par les translations de Is(F) et par s D donc par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s O,s D O,s Δ O} ; Is(F) est engendré par T et par t ws D, s Δ et s A avec w parallèle à D O, D une droite de direction D O, Delta perpendiculaire à