Gradient

Objectifs

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Exemples concrets de fonctions de plusieurs variables

Dans la vie, ce sont les fonctions d'une variable qui sont rares et les fonctions de plusieurs variables fréquentes ! Pour se faciliter la vie, celui qui modélise prétend que certaines sont des paramètres et d'autres des variables. Ce qui "signifie" qu'il va faire comme si certaines des variables étaient constantes.

Donnons quelques exemples :

Exemples : la température, la pression comme fonction de la position sur une carte : fonction de deux variables x et y

l'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables x et y

la température, la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) : fonction de trois variables x, y et z

le volume d'une boîte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables H et L et l.

votre moyenne sur WIMS en fonction du temps et de la feuille d'exercice : fonction de deux variables t et n (mais ici heureusement la variable n est une variable dite discrète (un entier) et pas continue (dans RR)

On parle en physique de champ scalaire : scalaire vient du fait que l'image est contenue dans les scalaires RR, champ vient de ce que le domaine de définition est dans n.

Exercices : Champ scalaire

Dérivées partielles

Exercices de calcul de dérivées partielles

On notera les dérivées partielles d'une fonction d'une des manières suivantes : Si f est une fonction de deux variables (x,y), la dérivée partielle de f par rapport à x est notée indiféremment
fx=D 1(f)
De même,
fy=D 2(f)
Ensuite :
2fx 2=D 1,1(f) , 2fxy=D 1,2(f) , 2fy 2=D 2,2(f)

Avant de commencer, il faut savoir calculer des dérivées partielles, nous proposons donc d'abord ici des exercices de technique.

Exercices :

Gradient

Définition du gradient

Soit f:U 3 une fonction de 3 variables. On lui associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient et noté grad f ou nabla f :
(x,y,z)f(x,y,z)=(fx(x,y,z),fy(x,y,z),fz(x,y,z))

En posant M=(x,y,z) ,

grad f(M)=(fx(M),fy(M),fz(M)).
Exercice

Autres notations :

Dérivée directionnelle

Soit u un vecteur de n et M 0 un point de n : on a alors
ddt f(M 0+tu) t=0=(gradf)(M 0)u
Ce qui donne une interprétation de grad f(M 0)u :

Soit u un vecteur unitaire de n. On appelle dérivée directionnelle de f dans la direction u au point M 0 (ou encore la dérivée partielle de f dans la direction u au point M 0) le nombre
f u(M 0)=(gradf)(M 0)u .

Si la direction est donnée par un vecteur qui n'est pas unitaire, il faut le rendre unitaire en le divisant par sa norme :

f u(M 0)=(gradf)(M 0)uu .
Propriété : La dérivée directionnelle est de norme maximale dans la direction du gradient et la direction dans laquelle la fonction f croît le plus vite est la direction du gradient.

Démonstration

Si u et v sont deux vecteurs d'angle s, on a l'égalité
uv=uvcos(s)
Ainsi,
uvuv
et l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires. En particulier, si u est un vecteur unitaire,
f u(M 0)grad(f)(M 0)
et f u(M 0) est égal à grad(f)(M 0) (et donc maximal) si u est colinéaire au gradient de f en M 0.

Exercices

Exercice : Dérivées directionnelles

Exercice : Gradient et croissance de la fonction

Approximation

Approximation linéaire

Définition : Soit f une fonction de deux variables (x,y) définie au voisinage d'un point M 0=(x 0,y 0). On dit que la fonction affine (x,y)a+bx+cy est une approximation linéaire ou plus exactement affine de f au point M 0=(x 0,y 0) si l'on peut écrire

f(x,y)(a+bx+cy)=(xx 0)ε 1(x,y)+(yy 0)ε 2(x,y)

avec des fonctions ε 1(x,y) et ε 1(x,y) tendant vers 0 lorsque (x,y)(x 0,y 0).
De manière équivalente, on peut aussi dire que la limite de f(x,y)(a+bx+cy)x 2+y 2 tend vers 0 lorsque (x,y)(x 0,y 0).

On dit que l'on a linéarisé f au voisinage de M 0 : pour certains problèmes, on "peut" remplacer f par son approximation linéaire.

Lorsqu'on regarde la surface S d'équation z=f(x,y), si a+bx+cy est l'approximation affine de f en M 0, l'équation z=a+bx+cy définit un plan dans 3 qui est le plan tangent à la surface S en M 0. Cela sera revu dans le chapitre sur les surfaces.

Exercice : Trouver l'approximation linéaire d'une fonction

Differentiabilité

Définition : Soit f une fonction de 2 variables (x,y) définie au voisinage d'un point M 0=(x 0,y 0). On dit que f est différentiable si f admet une approximation linéaire.

Théorème : Si f est une fonction de classe
On dit qu'une fonction définie sur un ouvert de 2 est de classe C 1 si elle est continue et admet des dérivées partielles premières continues
C 1 dans un voisinage de M 0, f est différentiable et son approximation linéaire est donnée par

f(M 0)+D 1(f)(M 0)(xx 0)+D 2(f)(M 0)(yy 0)

Autrement dit :

f(x,y)=fx(x 0,y 0)(xx 0)+fy(x 0,y 0)(yy 0) +(xx 0) 2+(yy 0) 2ε(x,y)

varepsilon est une fonction de (x,y) définie au voisinage de (x 0,y 0) telle que

lim (x,y)(x 0,y 0)ε(x,y)=0.

f(x,y)=fx(x 0,y 0)(xx 0)fy(x 0,y 0)(yy 0) +(xx 0)ε 1(x,y)+(yy 0)ε 1(x,y)

ε 1 et ε 2 sont des fonctions de (x,y) définies au voisinage de (x 0,y 0) telle que

lim (x,y)(x 0,y 0)ε 1(x,y)=0, lim (x,y)(x 0,y 0)ε 2(x,y)=0.

Avec des notations différentes que l'on utilisera par la suite,

f(x,y)=D 1(f)(x 0,y 0)(xx 0)+D 2(f)(x 0,y 0)(yy 0) +(xx 0) 2+(yy 0) 2ε(x,y)

varepsilon est une fonction de (x,y) définie au voisinage de (x 0,y 0) telle que

lim (x,y)(x 0,y 0)ε(x,y)=0.

f(M)=grad(f)(M 0)M 0M+M 0Mε(M)

varepsilon est une fonction de M définie au voisinage de M 0 telle que

lim MM 0ε(M)=0.

Estimation d'erreurs

On rencontre couramment en physique le problème suivant : On a une quantité A, fonction connue des quantités a,b... Ayant fait des mesures des quantités a,b, avec une certaine incertitude, on se demande avec quelle incertitude est connue A. Mathématiquement, on dispose des objets suivants On calcule