Extremums en plusieurs variables

Extremums en plusieurs variables


Vous vous promenez sur un chemin de montagne.
  • Vous êtes très sportif et vous désirez aller le plus haut possible dans la région dont vous avez la carte.
  • Vous êtes un peu moins sportif, vous vous contentez de suivre le chemin indiqué. A la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point le plus haut ou le plus bas où vous êtes passé.

L'altitude est une fonction f de deux variables, la position (x,y) sur la carte.
  • Dans le premier cas, vous cherchez à trouver le maximum de la fonction f.
  • Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par une équation g(x,y)=0. La question est donc de trouver les points M 0 vérifiant g(M 0) tels que f soit extrémale en M 0 parmi les points vérifiant g(M)=0.

Voici les deux problèmes que nous allons étudier dans ce qui suit. Cela n'est pas un cours complet, mais donne quelques idées reliées à des exercices à faire.

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

IV Tous les exercices WIMS utilisés

I Problème d'extrema sans contraintes

Extremums en plusieurs variables → I Problème d'extrema sans contraintes

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle
Dans le cas d'une fonction d'une variable sur un segment, que fait-on pour trouver les maximums d'une fonction ?
Voici un petit échantillon de fonctions pour lesquelles les extrema sont obtenus de manière différente :

Sur un segment [ a,b],
  • On sait que si la fonction est continue, elle admet un extremum. Elle admet un maximum et un minimum atteint en un point de I.
    La question est ensuite de savoir le trouver.
  • On cherche les points où la dérivée de la fonction existe et est nulle.
    Aide
    Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans ]a,b[, il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule.

    On calcule sa valeur en ces points.
  • On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.
  • Et on n'oublie pas de regarder aux points où la fonction f n'est pas dérivable ou pas continue.

Sur un segment ]a,b[,
  • On ne sait pas si la fonction admet un extremum ou est bornée.
  • Si la fonction est dérivable, si l'extremum existe et est atteint en c, la dérivée de f s'annule en c.

I-2 Topologie

Soit D un sous-ensemble de n.

Définition

On appelle intérieur de D l'ensemble des points A de D tels qu'il existe une boule centrée en A et de rayon strictement positif contenue dans D.

.

Définition

On appelle bord de D l'ensemble des points A de 2 tels que toute boule centrée en A et de rayon strictement positif rencontre à la fois D et son complémentaire.

Le bord de D est aussi le bord de son complémentaire.

.

Définition

On dit que D est ouvert s'il est égal à son intérieur.

Définition

On dit que D est fermé s'il contient son bord, autrement dit que son complémentaire est ouvert.

I-3 Définitions

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de n dans et A un point de D.

Définition

On dit que f admet un maximum en A si
f(M)f(A)
pour tout point MD.

Définition

On dit que f admet un minimum en A si
f(A)f(M)
pour tout point MD.

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de n dans et A un point de D qui est à l'intérieur de D.

Définition

On dit que f admet un maximum (local) en A si il existe un réel positif r>0 tel que
f(M)f(A)
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

Définition

On dit que f admet un minimum (local) en A si il existe un réel positif r>0 tel que
f(M)f(M)
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

I-4 Existence

Théorème

Soit f une fonction continue sur un ensemble fermé borné D de 2. Alors f admet un maximum et un minimum absolu dans D, c'est-à-dire qu'il existe M 0 et M 1 dans D tel que
f(M 0)f(M)f(M 1)
pour tout point M de D.

En particulier, une telle fonction est bornée sur D.
Le théorème précédent assure l'existence d'extrema sous certaines conditions. Il ne reste plus qu'à chercher comment les trouver.

I-5 Condition nécessaire et points critiques

Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-5 Condition nécessaire et points critiques

Théorème

Si A est intérieur à D, si f admet un extremum local en A, alors le gradient de f en A est nul : on dit que A est un point critique de f.

La condition nécessaire qui vient d'être donnée ne concerne que les points de D qui sont à l'intérieur de D.
Démonstration
Supposons par exemple que A est un maximum local. Alors pour H un vecteur de n et t dans un intervalle I centré en 0 suffisamment petit pour que les points A+tH appartiennent encore à D ( I dépend de H et son existence vient de ce que A est dans l'intérieur de D), la fonction
F:tf(A+tH)
admet un maximum local en A. Donc, F(0)=0.
Or F(0)=gradf(A)H˙. Donc pour tout vecteur H, gradf(A)=0.

.


Exercice

Points critiques

Exercice

Points critiques

I-6 Étude locale d'un point critique

Extremums en plusieurs variablesI Problème d'extrema sans contraintes → I-6 Étude locale d'un point critique
Pour déterminer si un point critique est un extremum, on doit faire une étude plus précise de la fonction :
Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle, l'outil de démonstration est la formule de Taylor Aide
Soit f une fonction C 1 d'un intervalle I dans . Si f a un extremum en x 0, x 0 est un point critique, c'est-à-dire que f(x 0)=0. Réciproquement,
  • si f(x 0)>0, f admet un minimum en x 0 ;
  • si f(x 0)<0, f admet un maximum en x 0.

C'est la même chose ici :

Théorème

Soit M 0 un point critique de f. Considérons le trinôme
Q M 0(X)= 2fx 2(M 0)X 2+2 2fxy(M 0)X+ 2fy 2(M 0))
  1. si Q M 0(X) est strictement positif pour tout X, f a un minimum local en M 0 ;
  2. si Q M 0(X) est strictement négatif pour tout X, f a un maximum local en M 0 ;
  3. si Q M 0(X) a deux racines réelles distinctes, on dit que f a un point col en M 0 ;
  4. si Q M 0(X) a deux racines réelles confondues, on dit que le point critique M 0 de f est dégénéré. Autrement dit, on ne sait rien dire.

Démonstration

  • [ On écrit la formule de Taylor ]
    On pose H=(h,k) :
    f(M 0+H)=f(M 0)+0+12( 2fx 2(M 0)h 2+2 2fxy(M 0)hk+ 2fy 2(M 0)k 2)+Hε(H)
    =f(M 0)+12Q M 0(h/k)k 2+Hε(H)
    avec varepsilon tendant vers 0 lorsque H tend vers 0.
  • [ On étudie le signe du polynôme quadratique ]
    Soit Δ=4(s 2rt). Lorsque Δ<0, le trinôme rX 2+2sX+t prend des valeurs
    strictement positives pour tout réel X ; lorsque Δ<0 et r>0
    strictement négatives pour tout réel X non nul lorsque Δ<0 et r<0.
    Les courbes de niveau de la fonction de deux variables Q(x,y)=rx 2+2sxy+ty 2 sont des ellipses. L'équation Q(x,y)=0 a comme unique solution le point