Déterminant

Guide

Le texte suivant introduit les déterminants en en donnant une construction puis donne quelques propriétés. On espère compléter ultérieurement la partie déterminant et systèmes linéaires.

Déterminant des matrices

Définition de l'application déterminant

Soit M n,m(K) l'ensemble des matrices à coefficients dans un corps K (égal à RR ou CC) ayant n lignes et m colonnes, M n(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. On note

Théorème : Il existe une unique application det:M n(K)K, appelée déterminant vérifiant les propriétés suivantes

La propriété (D 2) est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :

(D 2) s'il existe des indices j et k tels que A j=A k=B, det(A 1,...,B,..,B,...,A n)=0.

Conséquences immédiates de la définition

Petits cas

Pour n=1, on a nécessairement det (a)=a.

Pour n=2, on a nécessairement

det (a b c d)= det (a+0 b 0+c d)= det (a b 0 d)+ det (0 b c d)
= a det (1 b 0 d) + c det (0 b 1 d)
= a ( det (1 b 0 0) + det (1 0 0 d)) + c (det (0 b 1 0) +det (0 0 1 d))
= a(0+d) det (1 0 0 1) + c ( b det (0 1 1 0) + 0) = adbc

Développement par rapport à une colonne

Soit A ij la matrice extraite de A obtenue en enlevant la i-ième ligne et la j-ième colonne. Alors,
det A= i=1 n(1) i+ja ij det A ij.

Idée de la démonstration

Faisons la démonstration pour le développement par rapport à la première colonne. On écrit A 1= ia i1E i avec E i le vecteur colonne formé de 0 sauf à la i-ième ligne où il y a 1. On a grâce à (D 1)
det (A)= ia i1 det (E i,A 2,...,A n)

Regardons le terme

det (E i,A 2,...,A n).

Par exemple, ici i=3
0 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a 22 a 23 a 24 a 25 1 a 32 a 33 a 34 a 35 0 a 42 a 43 a 44 a 45 0 a 52 a 53 a 54 a 55
En faisant des manipulations sur les colonnes du type remplacer A k par A ka ikE i, on obtient que
det (E i,A 2,...,A n)= det (E i,A˜ 2,...,A˜ n)
A˜ k est la colonne A k où on remplace le i-ième élément par 0.
Exemple :
0 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a 22 a 23 a 24 a 25 1 0 0 0 0 0 a 42 a 43 a 44 a 45 0 a 52 a 53 a 54 a 55
On remarque alors que l'application qui à une matrice B d'ordre n1 associe det (E i,B^ 1,...,B^ n1) avec B^ la matrice colonne obtenue à partir de B en rajoutant un 0 à la place i, vérifie les deux premières propriétés du déterminant et vaut (1) i+1 sur l'identité I n1. Donc
det (E i,A 2,...,A n)=(1) 1+ia i1 det A i1.

Exemple :

Dans l'exemple ci-dessus, par rapport à quelle colonne a-t-on développé ?

=

Démonstration de l'existence et de l'unicité

Supposons par récurrence que l'existence et l'unicité de det sont démontrés sur M n1(K) avec n>1. La fonction déterminant sur M n1(K) est notée en vert : det

Suposons l'existence de det sur M n(K) et montrons son unicité.

Démontrons l'existence de det sur M n(K).

Définissons une fonction sur M n(K) provisoirement appelée deti par la formule
deti A= j=1 n (1) i+ja ijdet A ij .

(développement par rapport à la i-ième ligne) :

pour i=2 :

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33= (1) 2+1a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + (1) 2+2a 22 a 11 a 13 a 31 a 33 + (1) 2+3a 23 a 11 a 12 a 31 a 32
Elle vérifie (D 1) : justification
Soit k l'indice de la colonne où l'on a remplacé A k par aA k+bB k et A˜ ij la matrice extraite correspondant à la matrice (A 1,...,B k,...A n). Dans la somme définissant deti A, a ik est remplacé par a ik+b ik et A ik ne change pas ; par contre pour j différent de k, a ij ne change pas et det A ij est remplacé par det A ij + det A˜ ij en utilisant la propriété (D 1) pour det.

Elle vérifie (D 2) : justification

Soit l'indice k tel que les colonnes d'indice k et d'indice k+1 soient égales. Les matrices extraites A ij intervenant dans la formule ont toutes deux colonnes égales et sont donc nulles sauf les matrices extraites A ik et A ik+1 qui sont égales :
deti A= (1) i+ka ikdet A ik+ (1) i+k+1a ikdet A ik+1=0 .

Elle vérifie (D 3) : justification

deti I n=(1) j+j det I n1=1

L'unicité prouve de plus que les fonctions deti ainsi définies sont tous égales.

Matrice triangulaire

Si A est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de A est le produit de ses coefficients diagonaux a ii : on a
detA=a ii.

Démonstration

On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.

Exemple : Le déterminant de

()
est égal à fois le déterminant de
().

Par récurrence, il vaut times times

Matrice inversible et déterminant

Théorème : Le déterminant d'une matrice carrée A d'ordre n est nul si et seulement si le rang de A est strictement inférieur à n, c'est-à-dire si et seulement si A n'est pas inversible.

Démonstration :

  • Si rgA<n, un des vecteurs-colonne de A est combinaison linéaire des n1 autres. Donc det A=0.
  • Si rgA=n, alors A est inversible, on se ramène par des manipulations de colonnes (par la méthode des pivots) à une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont tous non nuls. A chaque transformation, le déterminant est multiplié par un scalaire non nul. Donc, det A0.

Ainsi,

Théorème : Pour que n vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n forment une base, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice formée avec leurs composantes dans une base quelconque soit non nul.

La valeur absolue du déterminant d'une base a une interprétation géométrique si l'on utilise le produit scalaire naturels de l'espace vectoriel n comme volume du parallépipède construit à partir de la base.

Multiplicativité

Théorème : Si A et B sont deux matrices carrées d'ordre n;
det AB= detA detB.
En particulier, si A est inversible,
det(A 1)=( det A) 1.

Démonstration :

Si B n'est pas inversible, AB ne l'est pas non plus et on a bien 0=0. Si B est inversible, det(B) neq 0. L'application
F:M n(K) to K
définie par
F(A)= det AB det B
vérifie toutes les propriétés du théorème-définition (exercice). Par unicité, on a donc
F(A)= det A.

Transposition

Théorème : Si A t est la transposée
La transposée de la matrice ((a ij)) est la matrice ((a ji)). Par exemple, la transposée de () est la matrice ().
de la matrice A,
det A= det A t.

On peut ainsi développer le déterminant par rapport à une ligne et les propriétés du théorème-définition restent vraies si on remplace les colonnes par les lignes.

Exercices

Exercice : Des questions auxquelles il faut répondre très vite

Exercices :

Exercice : Déterminant et rang

Déterminant et vecteurs

Aire et déterminant

Théorème Dans le plan, l'aire du du parallélogramme formé à partir des vecteurs v 1 et v 2 est égale à la valeur absolue du déterminant de v 1 et v 2
Démonstration L'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs (a,b) et (c,d) est égale à | adbc | : calculons l'aire de la moitié de ce parallélogramme qui est un triangle T. Rappelons que l'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des sommets se déplace sur une parallèle au côté opposé :

Il ne reste plus qu'à découper le triangle T en trois triangles et à déformer chacun d'entre eux sans en changer l'aire jusqu'à obtenir une figure remplissant la moitié d'un rectangle de côtés de longueur a et b (et donc d'aire