Algèbre linéaire : applications linéaires

Objectifs

Guide

Définitions

Définition d'une application linéaire

Définition. Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application f est une application linéaire si :
  1. pour tous u et v dans E, f(u+v)=f(u)+f(v) ;
  2. pour tous u dans E et lambda dans K, : f(λu)=λf(u).

Cas particuliers. Soit f une application linéaire.

On note L(E,F) l'ensemble de toutes les applications linéaires de E dans F. Si E=F, on note L(E,F)=L(E).

Propriétés

Proposition Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f  une application linéaire. Alors :
  1. f(0)=0 et pour tout u in E, f(u)=f(u).
  2. Pour tous λ 1,λ 2,λ n dans K et u 1,u 2,...,u n dans E, on a :

    f(λ 1u 1+λ 2u 2++λ nu n)=λ 1f(u 1)+λ 2f(u 2)++λ nf(u n).

  3. Si G est un sous-espace vectoriel de E, alors f(G) est un sous-espace vectoriel de F.

Proposition(définition équivalente d'application linéaire) Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application f:EF est une application linéaire si et seulement si

pour tous u et v dans E et lambda in K, f(λu+v)=λf(u)+f(v).


Exercice : Image d'un vecteur par une application linéaire

Exemples


Identification

Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels. Ainsi, on ne peut pas dire que la droite D engendré par le vecteur (1,1) (géométriquement, la première bissectrice du plan 2) "est" RR : D n'est pas un ensemble de nombres, mais un ensemble de couples. Par contre, " D est isomorphe à RR" est le langage qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de RR et de D, ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".
C'est bien une identification, pas une égalité : on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur (2,2) et l'isomorphisme de RR dans D (c'est-à-dire l'identification de RR avec D) aurait alors été l'isomorphisme

D λ (2λ,2λ)

et donc un autre isomorphisme.

Noyau et image

Noyau et image

Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire.
  1. L'ensemble Kerf= {uE,f(u)=0} est un sous-espace vectoriel de E, appelé le noyau de f.
  2. L'ensemble Imf=f(E)={f(u),uE} est un sous-espace vectoriel de F, appelé l'image de f.

Exercice : Image réciproque par une application linéaire

Injectivité, surjectivité

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire.
  1. f est injective si et seulement si Kerf = {0}.
  2. f est surjective si et seulement si Imf=F.
  3. f est un isomorphisme si et seulement si Kerf={0} et Imf=F.

Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire. On suppose que E est de dimension finie n * et que (a 1,a 2,...,a n) est une base de E. Alors (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) est une suite génératrice de Imf. Par conséquent le sous-espace Imf est de dimension finie. On appelle rang de f, et on note rang(f), la dimension de Imf.

Bases et propriétés d'une application linéaire

Lorsque l'espace vectoriel de départ E d'une application linéaire f est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de f d'après l'action de f sur les vecteurs d'une base de E, comme le précise la proposition suivante.
Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire. Supposons que E est de dimension finie n non nulle et que (a 1,a 2,...,a n) est une base de E.
  1. f est injective si et seulement si (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) est une suite libre de F.
  2. f est surjective si et seulement si (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) engendre F.
  3. f est un isomorphisme si et seulement si (f(a 1),f(a 2),...,f(a n)) est une base de F.

Exemple

Exemple : Soient a in RR et f: 3 3 l'application linéaire définie pour tout (x,y,z) 3 par f((x,y,z))=(2x+yz,yz,az). Soient b in RR et P le plan vectoriel de 3 d'équation x2y+bz=0. On veut déterminer, suivant les valeurs de a et b, le sous-espace vectoriel f(P) de 3. Déterminons une base de P. Les vecteurs u=(2,1,0) et v=(b,0,1) sont deux vecteurs non colinéaires de P, donc (u,v) est une base de P. D'après la proposition,
L'image d'une base par une application linéaire est une suite génératrice de l'image de l'application linéaire.
(f(u),f(v)) est une suite génératrice de f(P). Il y a plusieurs cas :